Question

（2010•南京模擬）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

Answer 1

分析：由條件可得 a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，再由3abc+

1

abc

≥2=2

3

，從而得到a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

解答：證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，所以a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．…（5分）
又3abc+

1

abc

≥2

3

，當(dāng)且僅當(dāng) 3abc=

1

abc

時(shí)，等號(hào)成立．
所以，a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，不等式的基本性質(zhì)，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．