Question

（2010•南京模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，f'（x）＜1，則不等式f（x²）＜x²+1解集

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件構(gòu)造F（x）=f（x）-x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后將f（x²）＜x²+1可轉(zhuǎn)化成f（x²）-x²＜f（1）-1即F（x²）＜F（1），根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)系，解之即可．

解答：解：令F（x）=f（x）-x，又f'（x）＜1
則F'（x）=f'（x）-1＜0
∴F（x）在R上單調(diào)遞減
∵f（1）=2
∴f（x²）＜x²+1可轉(zhuǎn)化成f（x²）-x²＜f（1）-1
即F（x²）＜F（1）
根據(jù)F（x）在R上單調(diào)遞減則x²＞1
解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及利用構(gòu)造法新函數(shù)解不等式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．