Question

15．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2-x）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=e^-x，若函數y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在區(qū)間[-k，k]（k＞0）內有奇數個零點，則m+n=-2．

Answer 1

分析 根據解析式得出f（x）的周期為2，x∈[0，1]時，f（x）=e^-x；x∈[-1，0]時，f（x）=e^x，再根據函數y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在區(qū)間[-k，k]（k＞0）內有奇數個零點，利用函數的對性得出：x=f（0）=1是函數y=x²+（m+1）x+n零點，代入即可求解m+n的值．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）的周期為2，
∵x∈[0，1]時，f（x）=e^-x，
∴x∈[-1，0]時，f（x）=e^x，
∵函數y=[f（x）]²+（m+1）f（x）+n在區(qū)間[-k，k]（k＞0）內有奇數個零點，
∴根據函數的對稱性得出：x=f（0）=1是函數y=x²+（m+1）x+n零點，
即1+m+1+n=0
故m+n=-2，
故答案為：-2

點評 本題綜合考查了函數奇偶性，周期性，復合函數的零點，根據對稱性求解，關鍵是理解函數解析式，難度較大，屬于中檔題．