Question

方程x=sinx在x∈[-π，π]上實(shí)根的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點(diǎn)，有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，f（x）零點(diǎn)有且只有一個(gè)為0．從而方程x=sinx在x∈[-π，π]上實(shí)根有且只有一個(gè)為0．
解答：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實(shí)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點(diǎn)，
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上為增函數(shù)．
又因?yàn)閒（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點(diǎn)有且只有一個(gè)為0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上實(shí)根有且只有一個(gè)為0．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的聯(lián)系，以及導(dǎo)數(shù)證單調(diào)性，重點(diǎn)鍛煉了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．