Question

方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根的個數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點，有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，f（x）零點有且只有一個為0．從而方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根有且只有一個為0．
解答：解：方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點，
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上為增函數(shù)．
又因為f（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一個零點，
所以函數(shù)f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零點有且只有一個為0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上實根有且只有一個為0．
故選A．
點評：本題考查函數(shù)的零點與對應(yīng)方程根的聯(lián)系，以及導(dǎo)數(shù)證單調(diào)性，重點鍛煉了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．