Question

【題目】已知橢圓 ： 的離心率為 ，且過點 ， ， 是橢圓 上異于長軸端點的兩點.
（1）求橢圓 的方程；
（2）已知直線 ： ，且 ，垂足為 ， ，垂足為 ，若 ，且 的面積是 面積的5倍，求 面積的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意 解得

故橢圓 的方程為 .

（2）解：設直線 與 軸相交于點 ， ，

由于 且 ，

得 ， （舍去）或 ，

即直線 經過點 ，

設 ， ， 的直線方程為： ，

由 即 ，

， ，

，

令 ，所以 ，

因為 ，所以 在 上單調遞增，所以在 上單調遞增，

所以 ，所以 （當且僅當 ，即 時“ ”成立），

故 的最大值為3.

【解析】（1）由離心率和過已知點得到關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程。
（2）通過已知兩個三角形面積的關系得到直線AB過定點，再設直線AB的方程，代入到橢圓方程中得到方程組，消去x得關于y的一元二次方程，由韋達定理及弦長公式將所求三角形面積表示為關于m的函數式，用均值不等式求最大值。