【題目】設點O為坐標原點,橢圓E: (a≥b>0)的右頂點為A,上頂點為B,過點O且斜率為 的直線與直線AB相交M,且
(Ⅰ)求橢圓E的離心率e;
(Ⅱ)PQ是圓C:(x﹣2)2+(y﹣1)2=5的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過P,Q兩點,求橢圓E的方程.

【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓E: (a≥b>0)的右頂點為A,上頂點為B,

∴A(a,0),B(0,b), ,∴M( ).

,解得a=2b,

,

∴橢圓E的離心率e為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=2b,∴橢圓E的方程為 ,即x2+4y2=4b2(1)

依題意,圓心C(2,1)是線段PQ的中點,且

由對稱性可知,PQ與x軸不垂直,

設其直線方程為y=k(x﹣2)+1,代入(1)得:

(1+4k2)x2﹣8k(2k﹣1)x+4(2k﹣1)2﹣4b2=0

設P(x1,y1),Q(x2,y2),

, ,

,解得

從而x1x2=8﹣2b2

解得:b2=4,a2=16,∴橢圓E的方程為


【解析】(Ⅰ)推導出A(a,0),B(0,b),M( , ),從而 ,進而a=2b,由此能求出橢圓E的離心率.(Ⅱ)設橢圓E的方程為 ,設直線PQ的方程為y=k(x﹣2)+1,與橢圓聯(lián)立得(1+4k2)x2﹣8k(2k﹣1)x+4(2k﹣1)2﹣4b2=0,由此利用韋達定理、中點坐標公式、弦長公式,求出a,b,由此能求出橢圓E的方程.

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