已知函數(shù)f(x)=kx,g(x)=
lnx
x

(1)求函數(shù)g(x)=
lnx
x
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,求k的取值范圍;
(3)求證:
ln2
24
+
ln3
34
+…+
lnn
n4
1
2e
分析:(1)由g'(x)>0,解得x的范圍,就是函數(shù)的增區(qū)間.
(2)問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h(x)的最大值,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h(x)有最大值,且最大值為
1
2e
,得到 k≥
1
2e

(3)先判斷
lnx
x4
1
2e
1
x2
 (x≥2),得 
ln2
24
+
ln3
34
+
ln4
x4
+…+
lnn
n4
1
2e
(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)

用放縮法證明
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1,即得要證的不等式.
解答:解:(1)∵g(x)=
lnx
x
(x>0),∴g′(x)=
1-lnx
x2
,令g'(x)>0,得0<x<e,
故函數(shù)g(x)=
lnx
x
的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e).
(2)由kx≥
lnx
x
,得k≥
lnx
x2
,令h(x)=
lnx
x2
,則問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h(x)的最大值.
h′(x)=
1-2lnx
x3
,令h′(x)=0時(shí),x=
e

當(dāng)x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)變化時(shí),h'(x)、h(x)變化情況如下表:
x (0,
e
e
e
,+∞)
h'(x) + 0 -
h(x)
1
2e
由表知當(dāng)x=
e
時(shí),函數(shù)h(x)有最大值,且最大值為
1
2e
,因此k≥
1
2e

(3)由
lnx
x2
1
2e
,∴
lnx
x4
1
2e
1
x2
 (x≥2),
ln2
24
+
ln3
34
+
ln4
x4
+…+
lnn
n4
1
2e
(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)

又∵
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
1
1×2
+
1
2×3
+…+ 
1
(n-1)n
=
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n
=1-
1
n
<1,
ln2
24
+
ln3
34
+
ln4
x4
+…+
lnn
n4
1
2e
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)極值,用放縮法證明不等式,放縮不等式是解題的難點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時(shí),將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)k=4時(shí),若對(duì)?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實(shí)數(shù)b的取值范圍..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
k+1x
(k<0),求使得f(x+k)>1成立的x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k•a-x(k,a為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)A(0,1),B(3,8).
(1)求實(shí)數(shù)k,a的值;
(2)若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
,試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•蕪湖二模)給出以下五個(gè)命題:
①命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“?x∈R,x2+x+1<0”.
②已知函數(shù)f(x)=k•cosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(
π
3
,1),則函數(shù)圖象上過點(diǎn)P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=(a-2)x-1垂直的充要條件.
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間(0,1)上存在零點(diǎn).
⑤已知向量
a
=(1,-2)
與向量
b
=(1,m)
的夾角為銳角,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,
1
2

其中正確命題的序號(hào)是
②③④
②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時(shí),試將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)k=4時(shí),若對(duì)任意的x1∈(1,+∞),存在x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實(shí)數(shù)b的取值范圍..

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