Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn)，分別交拋物線為E、F兩點(diǎn)，圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題考查拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化方法等.第一問(wèn)，據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直接列式求得，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，據(jù)條件的角平分線為，即軸，得，而，關(guān)于對(duì)稱，所以，利用兩點(diǎn)斜率公式代入得，所以求得；第三問(wèn)，先求直線的方程，再求的方程，令，可得到，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.
試題解析：（1）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
∴，即拋物線的方程為．
（2）法一：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，
設(shè)，，
∴，  ∴ ，
∴．   ．
法二：∵當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，可得，，∴直線的方程為，
聯(lián)立方程組，得，
∵  ∴，．
同理可得，，∴．
（3）法一：設(shè)，∵，∴，
可得，直線的方程為，
同理，直線的方程為，
∴，
，
∴直線的方程為，
令，可得，
∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，  ∴．
法二：設(shè)點(diǎn)，，．
以為圓心，為半徑的圓方程為