Question

已知f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．{a|

  6

  5

  ≤a≤6}
• B．{a|

  6

  5

  ＜a≤6}
• C．{a|1＜a＜6}
• D．{a|a＞6}

Answer 1

分析：根據(jù)題意當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log_ax在[1，+∞）上單調(diào)遞增⇒a＞1，從而f（x）=log_ax≥0；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（6-a）x-4a在（-∞，1）上單調(diào)遞增⇒6-a＞0；而f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，故當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（6-a）x-4a＜0；綜合可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴①當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log_ax在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a＞1，f（x）=log_ax≥0；
②由x＜1時(shí)，f（x）=（6-a）x-4a在（-∞，1）上單調(diào)遞增得：6-a＞0，即a＜6③；
又f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，x≥1時(shí)，f（x）=log_ax≥0；
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（6-a）x-4a＜0，
∴f（1）=（6-a）•1-4a≤0，即5a≥6，a≥

6

5

④
由③④可得

6

5

≤a＜6．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難點(diǎn)在于對(duì)“f（x）=

(6-a)x-4a(x＜1) logax(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函數(shù)”的分段討論與整體把握，特別是對(duì)“當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（6-a）x-4a＜0”的理解與應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略“f（1）=（6-a）•1-4a≤0”中的等號(hào)，屬于難題．