Question

15．已知圓O：x²十y²=l和直線l：x=3，在x軸上有一點Q（1，0），在圓O上有不與Q重 合的兩動點P、M，設(shè)直線MP斜率為k₁，直線MQ斜率為k₂，直線PQ斜率為k₃． 
（l）若k₁k₂=-1，求出P點坐標； 
（2）若k₂k₃=2，判斷直線PM是否經(jīng)過定點，若有，求出來，若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，即PQ為直徑，進而得到P的坐標；
（2）運用特殊值，求出MP的兩條直線方程，求得交點，再驗證定點，由MP的方程代入圓的方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式，計算即可得到定值2，故定點成立．

解答 解：（1）k₁k₂=-1，可得PM⊥MQ，
即有PQ為直徑，即P的坐標為（-1，0）；
（2）k₂k₃=2，所以k₂，k₃同號．
不妨設(shè)k₂=1，則QM：y=x-1，與圓的方程聯(lián)立，解得M（0，-1），
k₃=2，則QP：y=2（x-1），與圓的方程聯(lián)立，解得P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
此時MP：x-3y-3=0，
同理由圓的對稱性，當M（0，-1）時，k₂=-1，k₃=-2，此時P（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），MP：x+3y-3=0，
若MP過定點，聯(lián)立直線MP的方程，求得交點為（3，0），
驗證：（3，0）是否為定點．
可設(shè)MP：y=k（x-3），代入圓x²+y²=1，可得（1+k²）x²-6k²x+9k²-1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+{k}^{2}}$，
則k₂k₃=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}+9-3（{x}_{1}+{x}_{2}）]}{{x}_{1}{x}_{2}+1-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
代入韋達定理，化簡可得k₂k₃=2．
則有直線PM經(jīng)過定點（3，0）．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線方程和圓的方程的運用，以及直線斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．