函數(shù)f（x）=ax3+bx2+（c-3a-2b）x+d的圖象如圖所示．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f（x）的解析式
（2）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=
13
f′(x)+5x+m的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．
分析：（1）由圖象過點（0，3）求出d，再利用1是極值點求出c，利用切線的斜率為-3得f′（2）=-3且f（2）=5求出a，b即可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由題意可得：x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根，等價于g（x）=x3-7x2+8x與y=m有三個不同的交點，利用導數(shù)可求函數(shù)的極大與極小，即可得m的取值范圍．
解答：解：（1）由圖可知函數(shù)f（x）的圖象過點（0，3），且f′（1）=0，
∴
d=3
3a+2b+c-3a-2b=0
，
d=3
c=0
----3
依題意f′（2）=-3且f（2）=5，解得a=1，b=-6
所以f（x）=x3-6x2+9x+3----6
（2）由題意可得：x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根，
即g（x）=x3-7x2+8x與y=m有三個不同的交點g′（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4）

x (-∞，
2
3
)
2
3
 (
2
3
，4)		 4 （4，+∞）
g′（x） + 0 _ 0 +
g（x） 增 極大 減 極小 增
則g(
2
3
)=
68
27
，g（4）=-16，故m的取值范圍是(-16，
68
27
)----12
點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，及導數(shù)的幾何意義，考查根的個數(shù)的應用和數(shù)形結合思想的應用．解題的關鍵是將方程根的問題轉化為圖象的交點問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題：
①若f（x）存在導函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
π12
)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
 
；
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值，則實數(shù)a等于
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下表為函數(shù)f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數(shù)值，為了便于研究，相關函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點，并說明理由．

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