Question

已知三個(gè)點(diǎn)A（0，0），B（4，0），C（3，1），圓M為△ABC的外接圓．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx-1與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=

5

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的一般式方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程組求得D，E，F(xiàn)的值，則圓的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得圓M的圓心為（2，-1），半徑為

5

，結(jié)合弦長(zhǎng)求得圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得k的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵點(diǎn)A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圓M上，則

F=0 42+4D+F=0 32+12+3D+E+F=0

，
解得：D=-4，E=2，F(xiàn)=0．
∴△ABC外接圓的方程為x²+y²-4x+2y=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）圓M的圓心為（2，-1），半徑為

5

．
又|PQ|=

5

，∴圓M的圓心到直線y=kx-1的距離為

15

2

．
∴

|2k|

1+k2

=

15

2

，
解得：k²=15，k=±

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的一般式方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．