Question

如圖，長方體AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1．E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點．
（1）求證：平面A₁EF⊥平面BB₁F；
（2）試在底面A₁B₁C₁D₁上找一點H，使EH∥平面FGB₁；
（3）求四面體EFGB₁的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得A₁F⊥BB₁，A₁F⊥B₁F，由此能證明平面A₁EF⊥平面BB₁F．
（2）取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連結DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP，由此能求出H在A₁D₁上，且HD₁=

1

4

A₁D₁時，EH∥平面FGB₁．
（3）由V四面體EFGB1=VE-FGB1=VH-FGB1，利用等積法能求出四面體EFGB₁的體積．

解答： （1）證明：∵長方體AC₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁F?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁F⊥BB₁，
∵長方體AC₁中，AB=2，BC=AA₁=1，
E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點，
∴A₁F⊥B₁F，
∴A₁F⊥平面BB₁F，
又∴A₁F?平面A₁EF，∴平面A₁EF⊥平面BB₁F．
（2）解：取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，
連結DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁．
即H在A₁D₁上，且HD₁=

1

4

A₁D₁時，EH∥平面FGB₁．
（3）解：∵EH∥平面FGB₁，∴VE-FGB1=VH-FGB1，
而VH-FGB1=VG-HFB1=

1

3

×1×S△D1HF，
S△HFB1=S梯形B1C1D1H-S△B1C1F-S△D1HF=

5

8

，
∴V四面體EFGB1=VE-FGB1=VH-FGB1=

1

3

×1×

5

8

=

5

24

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足直線與平面平行的點的確定，考查四面體體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．