Question

函數(shù)f（x）=

x2-ax+1，x≥a 4x-4•2x-a，x＜a

（1）在x＜a時(shí)，f（x）＜1恒成立，求a的取值范圍；
（2）若a＞-4，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先換元，令t=2^x，則原式轉(zhuǎn)化為t²-4×

t

2a

＜1，運(yùn)用參數(shù)分離得到

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，求出右邊的最大值即可；
（2）分為如下幾種情況討論：當(dāng)x≥a時(shí)，-4＜a＜0；a≥0．當(dāng)x＜a時(shí)，a＞

1

2

時(shí)，-4＜a≤

1

2

時(shí)．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最小值，最后加以總結(jié)即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閤＜a時(shí)，f（x）=4^x-4•2^x-a，所以令2^x=t，則有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1當(dāng)x＜a時(shí)恒成立，可轉(zhuǎn)化為t²-4•

t

2a

＜1，
即

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，
令g（t）=t-

1

t

，t∈（0，2^a），則g′（t）=1+

1

t2

＞0，
所以g（t）=t-

1

t

在（0，2^a）上單調(diào)遞增，
所以g（t）＜g（2^a）=2^a-

1

2a

，所以有：

4

2a

≥2^a-

1

2a

．
所以

5

2a

≥2^a，所以（2^a）²≤5，所以2^a≤

5

，
所以a≤log₂

5

；
（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x²-ax+1，即f（x）=（x-

a

2

）²+1-

a2

4

，
①當(dāng)

a

2

≤a，即a≥0時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，開口向上，
所以f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（a）=1；
②當(dāng)

a

2

＞a，即-4＜a＜0時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，開口向上，
所以f（x）在[a，

a

2

）單調(diào)遞減，在（

a

2

，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（

a

2

）=1-

a2

4

．
所以由①②可得：當(dāng)x≥a時(shí)有：f（x）_min=

1- a2 4 ，-4＜a＜0 1，a≥0

．
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=4^x-4•2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），
則h（t）=t²-

4

2a

t=（t-

2

2a

）²-

4

4a

，
③當(dāng)0＜

2

2a

＜2^a，即2^2a＞2，即a＞

1

2

時(shí)，h（t）在（0，

2

2a

）單調(diào)遞減，
在（

2

2a

，2a）上單調(diào)遞增，h（t）_min=h（

2

2a

）=-

4

4a

；
④當(dāng)

2

2a

≥2^a，即2^2a≤2，即-4＜a≤

1

2

時(shí)，h（t）在（0，2^a）單調(diào)遞減，
h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此時(shí)，h（t）在（0，2^a）上無最小值；
所以由③④可得當(dāng)x＜a時(shí)有：當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）_min=h（t）_min=-

4

4a

；
當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，無最小值．
所以，由①②③④可得：
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，因?yàn)?

4

4a

＜1，所以函數(shù)f（x）_min=-

4

4a

；
當(dāng)0≤a≤

1

2

時(shí)，因?yàn)?^a-4＜0＜1，函數(shù)f（x）無最小值；
當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，4^a-4＜-3≤1-

a2

4

，函數(shù)f（x）無最小值．
綜上所述，當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值為-

4

4a

；
當(dāng)-4＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）無最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)考查分類討論和分離參數(shù)法，具有一定的綜合性和較高的要求，屬于難題．