Question

【題目】垃圾分類，是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．分類的目的是提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，力爭(zhēng)物盡其用．2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法．到2020年底，先行先試的46個(gè)重點(diǎn)城市，要基本建成垃圾分類處理系統(tǒng)；其他地級(jí)城市實(shí)現(xiàn)公共機(jī)構(gòu)生活垃圾分類全覆蓋．某機(jī)構(gòu)欲組建一個(gè)有關(guān)“垃圾分類”相關(guān)事宜的項(xiàng)目組，對(duì)各個(gè)地區(qū)“垃圾分類”的處理模式進(jìn)行相關(guān)報(bào)道．該機(jī)構(gòu)從600名員工中進(jìn)行篩選，篩選方法：每位員工測(cè)試，，三項(xiàng)工作，3項(xiàng)測(cè)試中至少2項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工，將被認(rèn)定為“暫定”，有且只有一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的員工將再測(cè)試，兩項(xiàng)，如果這兩項(xiàng)中有1項(xiàng)以上（含1項(xiàng)）測(cè)試“不合格”，將也被認(rèn)定為“暫定”，每位員工測(cè)試，，三項(xiàng)工作相互獨(dú)立，每一項(xiàng)測(cè)試“不合格”的概率均為．

（1）記某位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為，求；

（2）每位員工不需要重新測(cè)試的費(fèi)用為90元，需要重新測(cè)試的總費(fèi)用為150元，除測(cè)試費(fèi)用外，其他費(fèi)用總計(jì)為1萬元，若該機(jī)構(gòu)的預(yù)算為8萬元，且該600名員工全部參與測(cè)試，問上述方案是否會(huì)超過預(yù)算?請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不會(huì)超過預(yù)算.

【解析】

（1）利用互斥事件的概率加法計(jì)算公式和n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)每位員工測(cè)試的費(fèi)用為元，則可能的取值為，利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望的表達(dá)式，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.

（1）由題意知，每位員工首輪測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，

每位員工再次測(cè)試被認(rèn)定為“暫定”的概率為，

綜上可知，每位員工被認(rèn)定為“暫定”的概率為

+

，

（2）設(shè)每位員工測(cè)試的費(fèi)用為元，則可能的取值為，

由題意知，，，

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

（元），，

令，則

，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，即(元)，

所以此方案的最高費(fèi)用為（萬元），

綜上可知，若以此方案實(shí)施不會(huì)超過預(yù)算.