Question

已知等比數(shù)列{a_n}中a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且a₁=1，公比q≠1，則a_n等于（　　）

A．2^1-n

B．2^2-n

C．2^n-1

D．2^n-2

Answer 1

分析：設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，由等比數(shù)列{a_n}中a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到等差數(shù)列的第五項等于第三項加3d，第三項等于第二項加d，即a₂=a₄+3d，a₃=a₄+d，又a₂，a₃，a₄成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₃²=a₂•a₄，把表示出的a₂和a₃代入，整理后根據(jù)公差d不為0，用d表示出a₄，進(jìn)而用d表示出a₂和a₃，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)由

a3

a2

求出公比q的值，再由首項a₁的值，利用等比數(shù)列的通項公式寫出此等比數(shù)列的通項公式a_n即可．

解答：解：設(shè)公差為d，根據(jù)題意得：
∵等比數(shù)列{a_n}中a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，
∴a₂=a₄+3d，a₃=a₄+d，
又a₂，a₃，a₄為等比數(shù)列{a_n}的項，
∴a₃²=a₂•a₄，即（a₄+d）²=（a₄+3d）a₄（d≠0），
整理得：a₄²+2da₄+d²=a₄²+3da₄，即d（d-a₄）=0，
解得：a₄=d，或d=0，
由公比q≠1，得到a₃≠a₄，即d≠0，故d=0舍去，
∴a₄=d，
∴a₂=4d，a₃=2d，
∴q=

a3

a2

=

2d

4d

=

1

2

，又a₁=1，
則a_n=a₁•q^n-1=(

1

2

)n-1=2^1-n．
故選A

點評：此題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．