Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，左頂點為A，點B（0，b），若線段AF₁（不含端點）上存在點P，使得以PF₂為直徑的圓經(jīng)過點B，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• B． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意，PB⊥BF₂，設(shè)P（x，0）（-c＜x＜-a），則可得（-x，b）•（c，-b）=0，由此即可求出雙曲線C的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，PB⊥BF₂，
設(shè)P（x，0）（-c＜x＜-a），則
∵PB⊥BF₂，
∴（-x，b）•（c，-b）=0，
∴-cx=b²，
∵-c＜x＜-a，
∴ac＜-cx＜c²，
∴ac＜b²＜c²，
∴ac＜c²-a²＜c²，
∴e²-e-1＞0，
∴e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查圓中直徑的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．