Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x-$\frac{4}{x}$-alnx+1（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a≤4時(shí)，若不等式f（x）≥2在區(qū)間[1，4]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意得到f′（1）=0，求得a值，代入f（x）后利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，進(jìn)一步求得極值；
（2）把不等式f（x）≥2在區(qū)間[1，4]上有解轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，4]上的最大值M≥2，把原函數(shù)求導(dǎo)后對(duì)a分類求得函數(shù)的最大值，再由最大值M≥2求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x-$\frac{4}{x}$-alnx+1，∴${f}^{′}（x）=1+\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}$，
由題意，切線斜率k=f′（1）=1+4-a=0，∴a=5．
∴f（x）=x-$\frac{4}{x}-5lnx+1$，${f}^{′}（x）=1+\frac{4}{{x}^{2}}-\frac{5}{x}=\frac{{x}^{2}-5x+4}{{x}^{2}}（x＞0）$．
由f′（x）=0，得x=1或x=4．

x	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）的極小值為f（4）=4-1-5ln4+1=4-10ln2，
f（x）的極大值為f（1）=1-4-0+1=-2．
（2）由題意，當(dāng)a≤4時(shí)，f（x）在[1，4]上的最大值M≥2．
${f}^{′}（x）=\frac{{x}^{2}-ax+4}{{x}^{2}}（1≤x≤4）$．
（i）當(dāng)-4≤a≤4時(shí)，${f}^{′}（x）=\frac{（x-\frac{a}{2}）^{2}+4-\frac{{a}^{2}}{4}}{{x}^{2}}≥0$，
故f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，M=f（4），
（ii）當(dāng)a＜-4時(shí)，設(shè)x²-ax+4=0（△=a²-16＞0）的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=a＜0，x₁x₂=4，故x₁，x₂＜0．
∴在[1，4]上${f}^{′}（x）=\frac{{x}^{2}-ax+4}{{x}^{2}}＞0$．
故f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，M=f（4）．
綜上所述，當(dāng)a≤4時(shí)，f（x）在[1，4]上的最大值M=f（4）=4-1-aln4+1≥2．
解得：$a≤\frac{1}{ln2}$．
∴a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{ln2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，把不等式f（x）≥2在區(qū)間[1，4]上有解轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，4]上的最大值M≥2是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．