Question

【題目】已知橢圓的離心率，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q．

求橢圓的方程；

若直線(xiàn)AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為常數(shù)2.

【解析】

利用，，及其，解出即可得出；證法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為可得，直線(xiàn)AP的方程為令，解得同理可得再利用在橢圓上，即可得出mn；解法二：設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為，則AP的方程為，令，得聯(lián)立，解得P，則可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)可得，可得直線(xiàn)AQ的方程，可得n，即可得出．

，，

解得，，

．

故橢圓的方程為．

證法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為

，

直線(xiàn)AP的方程為．

令，解得．

，

直線(xiàn)AQ的方程為．

令，解得．

．

又在橢圓上，

，即，

．

以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2．

解法二：設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為，則AP的方程為，

令，得．

聯(lián)立

消去y，得，解得，，

，

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

，

故直線(xiàn)AQ的方程為．

令，得，

．

為常數(shù)，常數(shù)為2．