Question

10．過圓O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD，從A點作弦AE平行于CD，連接BE交CD于F．
（Ⅰ）求證：A、F、B、P四點共圓．
（Ⅱ）求證：BE平分線段CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦AE平行于CD，可得∠PFB=∠AEB，根據(jù)切線長定理可得∠POB=∠AEB，進而可得O，F(xiàn)，B，P四點共圓，利用O，A，B，P四點共圓，可得A、F、B、P四點共圓．
（Ⅱ）再由圓周角定理可得∠OFP=90°，再由垂徑定理可得CF=DF，即可證明BE平分線段CD．

解答 證明：（Ⅰ）∵AE∥CD
∴∠PFB=∠AEB
又PA，PB均⊙O的切線
故OP平分$\widehat{AB}$，由圓周角定理和圓心圓定理可得∠POB=∠AEB
∴∠PFB=∠POB
由四點共圓判定定理的推論可得O，F(xiàn)，B，P四點共圓，
∵O，A，B，P四點共圓，
∴A、F、B、P四點共圓．
（Ⅱ）由PB為圓O的切線，OB為過切點的半徑
可得∠OBP=90°
再由同弧或等弧所對的圓周角相等可得∠OFP=90°
再由垂徑定理可得CF=DF，
∴BE平分線段CD．

點評 本題考查的知識點是圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，垂徑定理，其中判斷出O，F(xiàn)，B，P四點共圓是解答的關(guān)鍵，本題用到的知識點比較多，相互轉(zhuǎn)化也比較困難，難度較大．