Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=6，a₃+a₆=27．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且T_n=$\frac{{S}_{n}}{3•{2}^{n-1}}$，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到；
（2）由等差數(shù)列的求和公式和數(shù)列的單調(diào)性，可得T_n的最大值，再由恒成立思想，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=6，a₃+a₆=27．可得a₁+d=6，2a₁+7d=27，
解得a₁=d=3，
即有a_n=a₁+（n-1）d=3n；
（2）T_n=$\frac{{S}_{n}}{3•{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（3+3n）n}{3•{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
T_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{{2}^{n+1}}$，
由$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\frac{n+2}{2n}$，
可得T₁＜T₂≤T₃＞T₄＞T₅＞…＞T_n＞…
即有T₂=T₃=$\frac{3}{2}$，取得最大值．
對(duì)于一切正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，
則有m≥$\frac{3}{2}$．
即有m的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．