Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λa_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出此等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)S₄=14得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式，又a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的另一關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；（II）把（I）中求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列中，根據(jù)=-，列舉出數(shù)列的前n項(xiàng)和的每一項(xiàng)，抵消后得到T_n的通項(xiàng)公式，將求出的T_n的通項(xiàng)公式和a_n+1的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)關(guān)系式的最大值，即可得到實(shí)數(shù)λ的最小值．
解答：解：（I）設(shè)公差為d，由已知得：，
即，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a₁=2，
故a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵==-，
∴T_n=-+-+…+-=-=，
∵T_n≤λa_n+1對(duì)?n∈N^*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥?n∈N^*恒成立，
又=≤=，
∴λ的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中檔題．學(xué)生在求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和時(shí)，注意利用=-．