Question

（2012•日照一模）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和，若Tn≤

1

λ

an+1對一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出此等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組，可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可；
（II）寫出數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，再分離參數(shù)，利用基本不等式求出最消值，即可得到實(shí)數(shù)λ的最大值．

解答：解：（I）設(shè)公差為d，∵S₄=14，a₃是a₁，a₇的等比中項(xiàng)
∴

4a1+6d=14  (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得：

d=1 a1=2

或

d=0 a1= 7 2

（舍去），
∴a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵Tn≤

1

λ

an+1對一切n∈N^*恒成立，
∴

n

2(n+2)

≤

n+2

λ

∴λ≤

2(n+2)2

n

?n∈N^*恒成立，
又

2(n+2)2

n

=2(n+

4

n

+4)≥16，
∴λ≤16
∴λ的最大值為16．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求值，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查不等式恒成立問題，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．