Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²（e為自然對(duì)數(shù)的底），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x+b．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)x≥0，求證：f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+2x-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由已知切線的方程，可得a，b的方程，即可解得a，b的值；
（Ⅱ）f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+2x-2即為e^x≥x²+2x-2，令g（x）=e^x-x²-2x+2，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=e^x-2x-2，h（0）=-1，設(shè)h（x）與x軸的交點(diǎn)為（m，0），討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到g（x）＞g（m）＞0，即可得證．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=e^x-ax²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2ax，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為k=e-2a，
切點(diǎn)為（1，e-a），
由于在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x+b，
則e-2a=e-1，e-a=e-1+b，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）證明：f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+2x-2即為
e^x≥x²+2x-2，
令g（x）=e^x-x²-2x+2，
即有g(shù)′（x）=e^x-2x-2，
令h（x）=e^x-2x-2，h（0）=-1，
設(shè)h（x）與x軸的交點(diǎn)為（m，0），即有e^m=2m+2，
由h（1）=e-4＜0，h（2）=e²-6＞0，即有1＜m＜2，
當(dāng)0＜x＜m，則有h（x）＜0，g（x）遞減，
即有g(shù)（x）＞g（m）=e^m-m²-2m+2=4-m²＞0，
當(dāng)x＞m，則h（x）＞0，g（x）遞增，
即有g(shù)（x）＞g（m）=e^m-m²-2m+2=4-m²＞0，
綜上可得，x≥0，f（x）≥$\frac{1}{2}{x^2}$+2x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式恒成立問(wèn)題的求法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．