Question

2．求證：||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 分零向量與非零向量，以及向量共線與不共線的情況，利用向量加法、減法的三角形法則做出圖形，結(jié)合三角形的邊的關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊”進行證明．

解答 證明：若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$中有一個為零向量，顯然成立；
對$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均為非零向量，分三種情況考慮．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線且方向相同時，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|；
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$共線且方向相反時，||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|；
（3）當(dāng)a，b不共線時，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊，得
||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．
綜上得證．

點評 本題主要考查了平面向量的共線與不共線時兩向量差的模與向量模的和（或差）的大小關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是要熟練運用向量的加法及減法的三角形法則（平行四邊形法則）．分類討論的數(shù)學(xué)思想要注意掌握．