20．對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，設(shè)f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$，若f（n）＜300，求n的最大值．

分析 根據(jù)條件，先將函數(shù)式化簡(jiǎn)為f（n）=lg（100！）+100lnn，再通過分離變量求n的最大值．

解答 解：∵f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$＜300，
∴l(xiāng)g（1×n）+lg（2×n）+lg（3×n）+…+lg（100×n）=lg（100�。�+100lnn＜300，
兩邊同時(shí)除以100得，lg$\root{100}{100!}$+lnn＜3，
分離變量n得，n＜$\frac{10^3}{\root{100}{100!}}$，
其中，$\root{100}{100!}$≈37.8，
所以，n＜$\frac{1000}{37.8}$≈26.5，
因此，正整數(shù)n的最大值為：26．
補(bǔ)充說明：一個(gè)常用極限$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{\root{n}{n!}}$=e，可供解題參考．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列求和與不等式恒成立問題的解法，以及對(duì)常用極限的應(yīng)用和估算，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．利用誘導(dǎo)公式求下列函數(shù)值：
（1）$sin\frac{19π}{6}$；
（2）sin$\frac{11π}{4}$．

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2．求證：||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|．

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8．如圖．小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時(shí)針方向滾動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形的邊長(zhǎng)的一半．如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動(dòng)一周后返回出發(fā)時(shí)的位置，在這個(gè)過程中，向量$\overrightarrow{OA}$圍繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了θ角，其中O為小正六邊形的中心，則sin$\frac{θ}{6}$+cos$\frac{θ}{6}$=-1．

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15．拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時(shí)向上的數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時(shí)向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件C為“落地時(shí)向上的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件D為“落地時(shí)向上的數(shù)是4的倍數(shù)”，則下列每對(duì)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是（　�。�
A．A與BB．B與CC．A與DD．B與D

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5．當(dāng)x→0時(shí)，下列四個(gè)無窮小階數(shù)最高的是（　�。�
A．e${\;}^{{x}^{4}-{x}^{3}}$-1B．cosx2-1C．$\sqrt{1+{x}^{2}}$-1D．tanx-sinx

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12．當(dāng)x→1時(shí)，k（1-x2）與1-$\root{3}{x}$是等價(jià)無窮小，其中的常數(shù)k應(yīng)如何選擇？

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9．如圖是函數(shù)$f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|≤\frac{π}{2}）$圖象的一部分，對(duì)不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有$f（{x_1}+{x_2}）=\sqrt{2}$，則（　�。�
A．f（x）在$（-\frac{3π}{8}，\frac{π}{8}）$上是增函數(shù)B．f（x）在$（-\frac{3π}{8}，\frac{π}{8}）$上是減函數(shù)
C．f（x）在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上是增函數(shù)D．f（x）在$（-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}）$上是減函數(shù)

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10．函數(shù)f（x）=ax2+bx-2是定義在[1+a，2]上的偶函數(shù)，則f（x）在區(qū)間[-1，2]上的值域是（　�。�
A．[-10，2]B．[-14，-2]C．（-∞，-2]D．[-14，-5]

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