Question

20．對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，設(shè)f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$，若f（n）＜300，求n的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，先將函數(shù)式化簡(jiǎn)為f（n）=lg（100！）+100lnn，再通過(guò)分離變量求n的最大值．

解答 解：∵f（n）=$\sum_{i=1}^{100}[lg（in）]$＜300，
∴l(xiāng)g（1×n）+lg（2×n）+lg（3×n）+…+lg（100×n）=lg（100！）+100lnn＜300，
兩邊同時(shí)除以100得，lg$\root{100}{100!}$+lnn＜3，
分離變量n得，n＜$\frac{10^3}{\root{100}{100!}}$，
其中，$\root{100}{100!}$≈37.8，
所以，n＜$\frac{1000}{37.8}$≈26.5，
因此，正整數(shù)n的最大值為：26．
補(bǔ)充說(shuō)明：一個(gè)常用極限$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{\root{n}{n!}}$=e，可供解題參考．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列求和與不等式恒成立問(wèn)題的解法，以及對(duì)常用極限的應(yīng)用和估算，屬于中檔題．