Question

在平面直角坐標系中，已知點P（1，-1），過點P作拋物線T₀：y=x²的切線，其切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）。
（1）求x₁與x₂的值；
（2）若以點P為圓心的圓E與直線MN相切，求圓E的方程；
（3）過原點O（0，0）作圓E的兩條互相垂直的弦AC，BD，求四邊形ABCD面積的最大值。

Answer 1

解：（1）由y=x²可得y'=2x
∵直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），
∴，即
∴或
同理可得：或
∵x₁＜x₂，
∴x₁=。
（2）由（1），可知x₁+x₂=2，x₁·x₂=-1，
則直線MN的斜率
∴直線M的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），
又，
∴
即2x-y+1=0
∵點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，
即
故圓E的方程為。
 （3）四邊形ABCD的面積為
不妨設圓心E到直線AC的距離為d₁，垂足為E₁；
圓心E到直線BD的距離為d₂，垂足為E₂；
則，
由于四邊形EE₁OE₂為矩形，且
 
所以
由基本不等式2ab≤a²+b²可得 
 
當且僅當d₁=d₂時等號成立。