Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)F為圓x²+y²+2x=0的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離最小值為．
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M（），證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出a、b，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）根據(jù)直線(xiàn)的斜率是否存在，分情況設(shè)直線(xiàn)方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證．
解答：解：（I）∵圓x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），依據(jù)題意c=1，a-c=-1，∴a=．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：+y²=1；
（II）①當(dāng)直線(xiàn)L與x軸垂直時(shí)，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，），B（-1，-），
•=（，）•（，-）=-．

②當(dāng)直線(xiàn)L與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)L的方程為 y=k（x+1）
⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=，x₁+x₂=-，
=（x₁+，y₁）•（x₂+，y₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）++k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+）（x₁+x₂）+k²+=（1+k²）（）+（k²+）（-）+k²+
=+=-2+=-
綜上•為定值-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題及向量坐標(biāo)運(yùn)算．根據(jù)韋達(dá)定理，巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求，是解決本類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．