Question

已知橢圓的左焦點F為圓x²+y²+2x=0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為．
（I）求橢圓方程；
（II）已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（），證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出圓心坐標，再根據(jù)題意求出a、b，得橢圓的標準方程．
（II）根據(jù)直線的斜率是否存在，分情況設直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，設出交點坐標，結(jié)合韋達定理根與系數(shù)的關系，利用向量坐標運算驗證．
解答：解：（I）∵圓x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），依據(jù)題意c=1，a-c=-1，∴a=．
∴橢圓的標準方程是：+y²=1；
（II）①當直線L與x軸垂直時，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，），B（-1，-），
•=（，）•（，-）=-．

②當直線L與x軸不垂直時，設直線L的方程為 y=k（x+1）
⇒（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=，x₁+x₂=-，
=（x₁+，y₁）•（x₂+，y₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）++k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+）（x₁+x₂）+k²+=（1+k²）（）+（k²+）（-）+k²+
=+=-2+=-
綜上•為定值-．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及向量坐標運算．根據(jù)韋達定理，巧妙利用根與系數(shù)的關系設而不求，是解決本類問題的關鍵．