Question

【題目】已知圓M的方程為，直線l的方程為，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線，，切點(diǎn)為A，B.

（1）若，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為N，求點(diǎn)N的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）或（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)和（3）

【解析】

（1）設(shè)，由題可知，代入兩點(diǎn)間的距離公式可得，求解可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>PA是圓M的切線，進(jìn)而可知經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進(jìn)而可求得x和y，得到結(jié)果；

（3）結(jié)合（2）將兩圓方程相減可得直線的方程，且得直線過(guò)定點(diǎn)，由幾何性質(zhì)得，即點(diǎn)N在以為直徑的圓上，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）設(shè)，因?yàn)?/span>是圓M的切線，，

所以，，

所以，解之得，，

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.

（2）的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>是圓M的切線，所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：，

化簡(jiǎn)得：，

此式是關(guān)于m的恒等式，故解得或.

所以經(jīng)過(guò)A，P，M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)和.

（3）由

可得：，即，

由可得過(guò)定點(diǎn).

因?yàn)?/span>N為圓M的弦的中點(diǎn)，所以，即，

故點(diǎn)N在以為直徑的圓上，

點(diǎn)N的軌跡方程為.