【題目】已知橢圓為其左右焦點，為其上下頂點，四邊形的面積為.點為橢圓上任意一點，以為圓心的圓（記為圓）總經(jīng)過坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓的長軸的最小值，并確定此時橢圓的方程；

（2）對于（1）中確定的橢圓，若給定圓，則圓和圓的公共弦的長是否為定值？如果是，求的值；如果不是，請說明理由.

【答案】（1）長軸的最小值為，此時橢圓的方程為；（2）2.

【解析】

（1）利用四邊形的面積求得，利用基本不等式求得的最小值，同時求得橢圓的方程.（2）設(shè)出點坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到點兩個坐標(biāo)的關(guān)系式.求得圓的方程和圓的方程，兩者作差求得公共弦所在直線方程，求得圓心到公共弦的距離，由此求得弦長為定值.

解：（1）依題意四邊形的面積為

因為長軸當(dāng)且僅當(dāng)時取“”

此時

故長軸的最小值為，此時橢圓的方程為

（2）設(shè)點為橢圓上任意一點，則.

圓的方程為： ，

圓的方程為： ，

兩式作差得公共弦方程為：，

所以弦心距

則弦長，所以圓和動圓的公共弦長為定值.

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支持

反對

合計

不足35歲

20

35歲以上

30

合計

25

55

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為市民對鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關(guān)？

（2）在上述樣木中用分層抽樣的方法，從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機抽取6人作進一步調(diào)查，從這6人中任選2人，求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.814

5.024

7.879

10.828

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【題目】浦東一模之后的“大將” 洗心革面，再也沒進過網(wǎng)吧，開始發(fā)奮學(xué)習(xí). 2019年春節(jié)檔非常熱門的電影《流浪地球》引發(fā)了他的思考：假定地球（設(shè)為質(zhì)點，地球半徑忽略不計）借助原子發(fā)動機開始流浪的軌道是以木星（看作球體，其半徑約為萬米）的中心為右焦點的橢圓. 已知地球的近木星點（軌道上離木星表面最近的點）到木星表面的距離為萬米，遠木星點（軌道上離木星表面最遠的點）到木星表面的距離為萬米.

（1）求如圖給定的坐標(biāo)系下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若地球在流浪的過程中，由第一次逆時針流浪到與軌道中心的距離為萬米時（其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長），由于木星引力，部分原子發(fā)動機突然失去了動力，此時地球向著木星方向開始變軌（如圖所示），假定地球變軌后的軌道為一條直線，稱該直線的斜率為“變軌系數(shù)”. 求“變軌系數(shù)”的取值范圍，使地球與木星不會發(fā)生碰撞. （精確到小數(shù)點后一位）

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【題目】如圖所示，橢圓離心率為，、是橢圓C的短軸端點，且到焦點的距離為，點M在橢圓C上運動，且點M不與、重合，點N滿足．

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（2）求四邊形面積的最大值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)圓的切線交橢圓于兩點（為坐標(biāo)原點），求證：；

（3）在（2）的條件下，求的最大值

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