Question

如果以原點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)，并且被雙曲線的右準(zhǔn)線分成弧長(zhǎng)之比為3：1的兩段弧，則雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：由題意可得圓O的圓心為原點(diǎn)，半徑為a．根據(jù)圓O被雙曲線的右準(zhǔn)線分成弧長(zhǎng)之比為3：1的兩段弧，得到直線x=

a2

c

被圓O截得A、B兩點(diǎn)，△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，由此可得

a2

c

=

2

2

a，由此解出離心率

解答：解：∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±a，0），
∴圓O的方程為x²+y²=a²
∵雙曲線的右準(zhǔn)線：x=

a2

c

交圓O于AB兩點(diǎn)，優(yōu)弧AB長(zhǎng)是劣弧AB的3倍
∴∠AOB=90°，可得△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形
所以

a2

c

=

2

2

a，可得e=

c

a

=

2

故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題以直線與圓相交構(gòu)成等腰直角三角形為例，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．