Question

數(shù)列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先求出1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1，再用分組求和法求出1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2-n．由此能求出數(shù)列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：∵1+2+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
∴數(shù)列{1+（1+2）+（1+2+4）+…+（1+2+…+2^n-1）}的前n項(xiàng)和：
S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n-（1+2+3+…+n）
=

4(1-2n)

1-2

-2n-

n(n+1)

2

=2n+2-

n2+5n

2

-4．
故答案為：2n+2-

n2+5n

2

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．