Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²﹣3ax，f（0）=b．a(chǎn)，b為實(shí)數(shù)，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值、最大值分別為﹣2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)F（x）=（f′（x）+6x+1）e^2x，試判斷函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2，
∴當(dāng)x∈[﹣1，0）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值為f（0）=b，
∴b=1．
又，，
∴f（﹣1）＜f（1），即，得．
故，b=1為所求．
（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x³﹣2x²+1，f'（x）=3x²﹣4x，點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上．
（1）當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l(xiāng)的方程為y﹣1=4（x﹣2），即4x﹣y﹣7=0．
（2）當(dāng)切點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切線l的斜率，
∴l(xiāng)的方程為y﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（x﹣x₀）．
又點(diǎn)P（2，1）在l上，
∴1﹣y₀=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴1﹣（x₀³﹣2x₀²+1）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²（2﹣x₀）=（3x₀²﹣4x₀）（2﹣x₀），
∴x₀²=3x₀²﹣4x₀，即2x₀（x₀﹣2）=0，
∴x₀=0．
∴切線l的方程為y=1．
故所求切線l的方程為4x﹣y﹣7=0或y=1．
（或者：由（1）知點(diǎn)A（0，1）為極大值點(diǎn)，所以曲線f（x）的點(diǎn)A處的切線為y=1，恰好經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），符合題意．）
（Ⅲ）解：F（x）=（3x²﹣3ax+6x+1）e^2x=[3x²﹣3（a﹣2）x+1]e^2x．
∴F'（x）=[6x﹣3（a﹣2）]e^2x+2[3x²﹣3（a﹣2）x+1]e^2x
                =[6x²﹣6（a﹣3）x+8﹣3a]e^2x．
二次函數(shù)y=6x²﹣6（a﹣3）x+8﹣3a的判別式為
△=36（a﹣3）²﹣24（8﹣3a）=12（3a²﹣12a+11）=12[3（a﹣2）2﹣1]，
令△≤0，得：．
令△＞0，得．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴當(dāng)時(shí)，F(xiàn)'（x）≥0，函數(shù)F（x）為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程F'（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．