【題目】(本小題滿分14分)
設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c. 已知C=,acosA=bcosB.
(1)求角A的大;
(2)如圖,在△ABC的外角∠ACD內(nèi)取一點(diǎn)P,使得PC=2.過點(diǎn)P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN,垂足分別是M、N.設(shè)∠PCA=α,求PM+PN的最大值及此時(shí)α的取值.
【答案】(1)(2)α=時(shí),PM+PN取得最大值2.
【解析】
試題分析:(1)解三角形,就是利用正余弦定理將邊角統(tǒng)一,本題求角,應(yīng)利用正弦定理將邊化為角:sinAcosA=sinBcosB,再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式求角:sin2A=sin2B, A=B或A+B=.因?yàn)?/span>C=,所以A=B,A=.(2)求PM+PN的最大值,首先建立函數(shù)關(guān)系式,取自變量為角:PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+).再根據(jù)基本三角函數(shù)求其最值:因?yàn)?/span>α∈(0,),所以α+∈(,),從而有sin(α+)∈(,1],因此當(dāng)α+=,即α=時(shí),PM+PN取得最大值2.
試題解析:(1)由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,又A∈(0,π),B∈(0,π),
所以有A=B或A+B=. 2分
C=,得A+B=,與A+B=矛盾,所以A=B,
因此A=. 4分
(2)由題設(shè),得
在Rt△PMC中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα;
在Rt△PNC中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB)
=2sin[π-(α+)]=2sin (α+),α∈(0,). 6分
所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+)=3sinα+cosα=2sin(α+). 10分
因?yàn)?/span>α∈(0,),所以α+∈(,),從而有sin(α+)∈(,1],
即2sin(α+)∈(,2].
于是,當(dāng)α+=,即α=時(shí),PM+PN取得最大值2. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若a=﹣2,正實(shí)數(shù)x1 , x2滿足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,證明x1+x2≥ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017重慶二診】已知函數(shù),.
(1)分別求函數(shù)與在區(qū)間上的極值;
(2)求證:對(duì)任意, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為,, ,,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件,設(shè)為重量超過克的產(chǎn)品數(shù)量,求的分布列;
(3)從該流水線上任取件產(chǎn)品,求恰有件產(chǎn)品的重量超過克的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,△ABC的面積S= 且sinA= .
(1)求sinB;
(2)若邊c=5,求△ABC的面積S.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y﹣4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1 , Ω2 , 若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω2的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示,若它們的中位數(shù)相同,平均數(shù)也相同,
(1)求m,n的取值.
(2)比較甲、乙兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,并說明理由.
注:方差公式s2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B是單位圓上的兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別在第一、二象限,點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn),角∠AOB= ,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為( , ),記∠COA=α.
(1)求 的值;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
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