Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F（c，0），離心率為

1

2

，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面積為

3 3

2

，設(shè)斜率為k的直線過點F，且與橢圓E相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若 

27

13

≤

AM

•

AN

≤

27

7

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為

1

2

，可得a=2c，b=

3

c，利用△ABF的面積為

3 3

2

，可求c=1，從而可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)方程為y=k（x-1）與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理，求出

AM

•

AN

，利用 

27

13

≤

AM

•

AN

≤

27

7

，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵離心率為

1

2

，∴a=2c，b=

3

c．  
∵△ABF的面積為

3 3

2

，
∴

1

2

(2c+c)×

3

c=

3 3

2

，∴c=1
∴a=2，∴b=

3

∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）斜率為k的直線過點F，設(shè)方程為y=k（x-1）與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=

-9k2

3+4k2

∴

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=

27k2

3+4k2

∵

27

13

≤

AM

•

AN

≤

27

7

，∴

27

13

≤

27k2

3+4k2

≤

27

7

∴

1

3

≤k2≤1
∴

3

3

≤k≤1或-1≤k≤-

3

3

∴k的取值范圍是[

3

3

，1]∪[-1，-

3

3

]．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．