Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，頂點D，C分別在AM，BN上運動（點D不與A重合，點C不與B重合），E是AB上的動點（點E不與A，B重合），在運動過程中始終保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）設(shè)AE=m，請?zhí)骄浚骸鰾EC的周長是否與m值有關(guān)，若有關(guān)請用含m的代數(shù)式表示△BEC的周長；若無關(guān)請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）由∠DEC=90°，可得∠AED+∠BEC=90°，又由∠AED+∠ADE=90°，可得∠BEC=∠ADE，即可證明；
（2）結(jié)論：△BEC的周長與m值無關(guān)．利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得出．

解答： （1）證明：∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，
又∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠BEC=∠ADE，而∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：結(jié)論：△BEC的周長與m無關(guān)．
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m，設(shè)AD=x，
∵△ADE∽△BEC，∴

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，即：

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

(a-m)m

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

．
∴△BEC的周長=BE+BC+EC=（a-m）+

(a-m)m

x

+

(a-m)(a-x)

x

=（a-m）(1+

m

x

+

a-x

x

)=

a2-m2

x

    ①
∵AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x²+m²=（a-x）²，
化簡整理得：a²-m²=2ax  ②
把②式代入①，得△BEC的周長=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a，
∴△BEC的周長與m無關(guān)．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、互余角之間的關(guān)系、三角形的周長，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．