在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC中點．
（1）求點B1到平面A1BD的距離；
（2）求二面角A1-DB-B1的余弦值．
考點：用空間向量求平面間的夾角,點、線、面間的距離計算
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）首先建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算求出平面的法向量，然后利用點面之間的距離公式求出結果．
（2）直接求出平面B1BD的法向量，利用（1）中的法向量，利用向量的夾角求出結果．
解答： 解：（1）以D為坐標原點，以DC為x軸，以DB為y軸，
以過D點垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點，
∴A1（-1，0，3），B（0，2
2
，0），D（0，0，0），B1（0，2
2
，3），
∴
DA1
=（-1，0，3），
DB
=（0，0），
DB1
=（0，2
2
，3），
設平面A1BD的法向
n
=（x，y，z），
則：
-x+3z=0
2
2
y=0

解得：
n
=（3，0，1），
∴d=
|
n
•
DB1
|
|
n
|
=
3
10
10
．
（2）首先利用DC⊥平面B1BD，則設平面B1BD的法向量為：
DC
=（1，0，0），
∴cos＜
DC
，
n
＞=|
DC
•
n
|
DC
|•|
.
n
|
|=
3
10
10

∴二面角A1-DB-B1的余弦值
3
10
10
．
點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標系，向量的坐標運算，向量的夾角，點面之間的距離，二面角的應用．屬于基礎題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y=x2-2與橢圓x2+
y2
2
=1有四個交點，這四個交點共圓，則該圓的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求使下列函數(shù)取得最大值，最小值的自變量的集合，并寫出最大值，最小值各是多少．
（1）y=2sinx，x∈（-
3
2
π，2π）
（2）y=2-cos
x
3
，x∈（-
π
4
，2π）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=sin（2x+
π
3
）+sin（2x-
π
3
）+cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有以下五個命題：
（1）設數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1；
（2）若a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊長，a2+b2-c2＞0，則△ABC一定是銳角三角形；
（3）若A，B是三角形△ABC的兩個內角，且sinA＜sinB，則BC＜AC；
（4）若關于x的不等式ax-b＜0的解集為（1，+∞），則關于x的不等式
bx+a
x+2
＜0的解集為（-2，-1）；
（5）函數(shù)y=sinx+
4
sinx
（0＜x＜π）的最小值為4；
其中真命題為
 
（所有正確的都選上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

f（x）=x3+3ax+3x+1
（1）當a=-
2
時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=3tan（
1
2
x+
π
3
）的一個對稱中心是（　　）
A、（
π
6
，0）
B、（
2π
3
，-3
3
）
C、（-
2π
3
，0）
D、（0，0）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1=2，a4=16，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b3=a3，b5=a5，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項的和Sn；
（Ⅲ）求數(shù)列{|bn|}前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結論錯誤的是（　　）
A、BD∥平面CB1D1
B、異面直線AD與CB1所成的角為30°
C、AC1⊥平面CB1D1
D、AC1⊥BD

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