Question

一個(gè)容器的蓋子用一個(gè)正四棱臺(tái)和一個(gè)球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，斜高為0.6R
（1）求這個(gè)容器蓋子的表面積（用R表示，焊接處對面積的影響忽略不記）；
（2）若R=2cm，為蓋子涂色時(shí)所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，計(jì)算100個(gè)這樣的蓋子約需涂料多少kg（精確到0.1kg）

Answer 1

分析：（1）由已知中一個(gè)容器的蓋子用一個(gè)正四棱臺(tái)和一個(gè)球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，斜高為0.6R，我們分別將已知中的數(shù)據(jù)代入球的表面積公式和棱臺(tái)的表面積公式，即可求出答案．
（2）由（1）的結(jié)論，我們將R=2cm，代入可計(jì)算出每個(gè)蓋子的表面積，進(jìn)而求出100個(gè)蓋子的面積后，根據(jù)為蓋子涂色時(shí)所用的涂料每0.4kg可以涂1m²，即可求出需涂料的重量．

解答：解：（1）∵球的半徑為R
∴球的表面積為4πR²
又∵四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，
則四棱臺(tái)的上、下底面積分別為6.25R²和9R²
又由正四棱臺(tái)的斜高為0.6R
則四棱臺(tái)的側(cè)面積為4×

1

2

×（2.5R+3R）×0.6R=6.6R²
∴容器蓋子的表面積S=（21.85+4π）R²
（2）由（1）得
S=（21.85+4π）R²
R=2cm時(shí)，S=（87.4+16π）cm²
100個(gè)這樣的蓋子約需涂料為（87.4+16π）×100÷10000×0.4kg≈0.6kg

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是棱臺(tái)的表面積和球的表面積，其中根據(jù)已知條件結(jié)論空間幾何體的表面積公式求出幾何體的表面積是解答本題的關(guān)鍵．