Question

 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

    已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點(diǎn)．

   （1）若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

   （2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，證明：為的中點(diǎn)；

   （3）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過中點(diǎn)的直線，使得與橢圓 的兩個交點(diǎn)、滿足？令，，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點(diǎn)、滿足，求點(diǎn)、的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：(1) ；

(2) 由方程組，消y得方程，

因?yàn)橹本�交橢圓于、兩點(diǎn)，

所以D>0，即，

設(shè)C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀,y₀)，

則，

由方程組，消y得方程(k₂-k₁)x=p，

又因?yàn)?sub>，所以，

故E為CD的中點(diǎn)；

(3) 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k₂，由知F為P₁P₂的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．

，直線OF的斜率，直線l的斜率，

解方程組，消y：x²-2x-48=0，解得P₁(-6,-4)、P₂(8,3)．