Question

如圖，四邊形與均為菱形， ，且．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?四邊形為菱形，所以，

且為中點(diǎn)．                ………………1分

又 ，所以 ．  ………3分

因?yàn)?，

所以 平面．  ………………4分   

（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260125206678885070_DA.files/image005.png">與均為菱形，

所以//，//，

所以 平面//平面．                 ………………7分                                         又平面，

所以// 平面．                    ……………8分                        

（Ⅲ）解：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260125206678885070_DA.files/image011.png">為菱形，且，所以△為等邊三角形．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260125206678885070_DA.files/image003.png">為中點(diǎn)，所以，故平面．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． ………………9分                                   

設(shè)．因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260125206678885070_DA.files/image005.png">為菱形，，則，所以，

．

所以 ．           

所以 ，．              

設(shè)平面的法向量為，則有

所以   取，得． ………………12分           

易知平面的法向量為．      ………………13分               

由二面角是銳角，得 ．      

所以二面角的余弦值為．       ……………14分

【解析】略