下列命題:
(1)若函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+a
),為奇函數(shù),則a=1;
(2)函數(shù)f(x)=|sinx|的周期T=π;
(3)已知
a
=(sinθ,
1+cosθ
),
b
=(1,
1-cosθ
)
,其中θ∈(π,
2
),則
a
b

(4)在△ABC中,
BA
=a,
AC
=b,若a•b<0,則△ABC是鈍角三角形
( 5)O是△ABC所在平面上一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心.
以上命題為真命題的是
(1)(2)(3)(5)
(1)(2)(3)(5)
分析:(1)若函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+a
)為奇函數(shù),則f(0)=0,則此能求出a的值;
(2)由正弦函數(shù)的圖象知函數(shù)能求出f(x)的周期;
(3)寫出兩個(gè)向量的數(shù)量積,運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式整理即可得到結(jié)論;
(4)在△ABC中,
BA
=
a
AC
=
b
,
a
b
<0,則∠BAC是銳角,由此無法判斷△ABC一定是鈍角三角形;
(5)把給出等式中的角的正弦值用對(duì)應(yīng)邊長和外接圓半徑表示,移向整理后得
AP
=2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
),由此式可知直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心.
解答:解:若函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+a
)為奇函數(shù),
則f(0)=lg(0+
0+a
)=lg
a
=0,解得a=1,故(1)成立;
由正弦函數(shù)的圖象知函數(shù)f(x)=|sinx|的周期T=π,故(2)成立;
a
=(sinθ,
1+cosθ
),
b
=(1,
1-cosθ
)
,其中θ∈(π,
2
),
a
b
=sinθ+
1-cos2θ
=sinθ-sinθ=0,
a
b
,故(3)成立;
在△ABC中,
BA
=
a
,
AC
=
b
a
b
<0,
則∠BAC是銳角,△ABC不一定是鈍角三角形,故(4)不成立;
如圖,

在△ABC中,由
|
AB
|
sinC
=
|
AC
|
sinB
=2R(R為三角形ABC外接圓半徑),
所以sinC=
|
AB
|
2R
,sinB=
|
AC
|
2R
,
所以
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)=
OA
+λ(
2R
AB
|
AB
|
+
2R
AC
|
AC
|
)=
OA
+2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
),
AP
=2Rλ(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
),
所以直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心.故(5)正確.
故答案為:(1)(2)(3)(5).
點(diǎn)評(píng):本題考查了命題的真假的判斷與運(yùn)用,是中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意奇函數(shù)、向量的數(shù)量積、三角函數(shù)、正弦定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題中
①當(dāng)n=0時(shí),冪函數(shù)y=xn的圖象是一條直線
②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,1)
③冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限
④若冪函數(shù)y=xn是奇函數(shù),則y=xn在其定義域上是增函數(shù)
⑤冪函數(shù)y=xn當(dāng)n<0時(shí),在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小
其中正確的命題是
③⑤
③⑤
(將所選命題的序號(hào)均填在橫線上)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題正確的有( 。
①對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函數(shù)y=x
1-x2
(0<x<1)的最大函數(shù)值為
1
2
;
③對(duì)a∈R,不等式|x|<a的解集可表示為{x|-a<x<a};
④若AB≠0,則lg
|A|+|B|
2
lg|A|+lg|B|
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•遂寧二模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在非零實(shí)數(shù),使得對(duì)于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,f(x+l)≥f(x),則稱f(x)為M上的l高調(diào)函數(shù),現(xiàn)給出下列命題:
①函數(shù)f(x)=(
12
)x
為R上的1高調(diào)函數(shù);
②函數(shù)f (x)=sin 2x為R上的高調(diào)函數(shù);
③如果定義域是[-1,+∞)的函數(shù)f(x)=x2為[-1,+∞)上的m高調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,+∞);
④如果定義域?yàn)镽的函教f (x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=|x-a2|-a2,且f(x)為R上的4高調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是[一1,1].
其中正確的命題是
②③④
②③④
 (寫出所有正確命題的序號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列命題正確的有(  )
①對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函數(shù)y=x
1-x2
(0<x<1)的最大函數(shù)值為
1
2
;
③對(duì)a∈R,不等式|x|<a的解集可表示為{x|-a<x<a};
④若AB≠0,則lg
|A|+|B|
2
lg|A|+lg|B|
2
A.①②④B.③④C.②③D.①④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年四川省雅安市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

下列命題正確的有( )
①對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b,都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函數(shù)y=x(0<x<1)的最大函數(shù)值為;
③對(duì)a∈R,不等式|x|<a的解集可表示為{x|-a<x<a};
④若AB≠0,則lg
A.①②④
B.③④
C.②③
D.①④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案