Question

如果三位正整數(shù)如“abc”滿足a＜b，b＞c，則這樣的三位數(shù)稱為凸數(shù)（如120，352）那么，所有的三位凸數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．240
B．204
C．729
D．920

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，先分析中間的數(shù)，再研究首位與個位數(shù)，即按中間數(shù)進行分類討論，求得當中間數(shù)為n時，首位有（n-1）種情況，個位有n種情況，故總的種數(shù)共有n（n-1）種，進而相加可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，對十位數(shù)即中間數(shù)分情況討論：
當中間數(shù)是2時，首位可取1，個位可取0，1，故總的種數(shù)有2×1=2個，
當中間數(shù)為3時，首位可取1，2，個位可取0，1，2，故總的種數(shù)共有2×3=6個，
…
當中間數(shù)為9時，首位可取1，2，…，8個位可取0，1，2，…，8故總的種數(shù)共有8×9=72，
歸納可得，當中間數(shù)為n時，首位有（n-1）種情況，個位有n種情況，故總的種數(shù)共有n（n-1）種，
故所有凸數(shù)個數(shù)為1×2+2×3+3×4+…+8×9=2+6+12+20+30+42+56+72=240
故選A．
點評：本題考查分類計數(shù)原理的應用，關鍵是正確理解題中所給的凸數(shù)的定義，進而按中間的數(shù)進行分類，歸納出中間數(shù)與可得凸數(shù)的個數(shù)的關系．