Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-8（m-1）x+5在[-1，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的最大值M；
（2）在條件（1）下解關(guān)于x的不等式：1+log_M（4-a²）≤log

M

（a^x-1）（其中a＞0，a≠1）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意得到m與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，解得其最大值；
（2）在（1）的條件下，將不等式變形，化為同底數(shù)的對數(shù)，轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3x²-8（m-1）x+5在[-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴

4(m-1)

3

≤-1，解得m≤

1

4

，
所以實(shí)數(shù)m的最大值M=

1

4

；
（2）由（1）得，關(guān)于x的不等式為：1+log 

1

4

（4-a²）≤log 

1

2

（a^x-1），
變形得log 

1

4

[

1

4

（4-a²）]≤log 

1

2

（a^x-1），
∴l(xiāng)og 

1

2

1 4 (4-a2)

≤log 

1

2

（a^x-1），
∴

1 4 (4-a2)

≥ax-1，
∴①1＜a≤2時，x≤log_a（1+

1- a2 4

）；
②0＜a＜1時，x≥log_a（1+

1- a2 4

）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用對數(shù)的性質(zhì)解不等式．