Question

【題目】已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)，，又．

（1）判斷的奇偶性；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）解關(guān)于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

（1）采用令值的方法：令，得到與的關(guān)系，并計(jì)算相關(guān)值即可得到的奇偶性；

（2）分析的單調(diào)性，再根據(jù)已知的條件結(jié)合恒等式以及奇偶性即可計(jì)算出的最值；

（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊值將不等式變形，再根據(jù)恒等式和函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞块g的不等關(guān)系，從而可求不等式解集.

（1）的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

令，所以，所以，

令，所以，所以，

所以，所以是奇函數(shù)；

（2）任取且，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以是上的減函數(shù)，

所以，

所以；

（3）因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以且是減函數(shù)，

所以，解得：，所以解集為.