Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點A、C，其中點A在第一象限，點C在第三象限．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求B點的坐標(biāo)；
（3）若S_△AOB=2，求A點的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用雙曲線的定義（k≠0）即可得出；
（2）由直線y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x即可；
（3）聯(lián)立，解得點A的坐標(biāo)，再利用2=，解得k即可；
（4）存在，設(shè)P（x，0）．分類討論：①若|OA|=|OP|，②若|AO|=|AP|，③若|PA|=|PO|，再利用兩點間的距離公式即可得出．
解答：解：（1）由雙曲線y=（m+5）x^2m+1，利用雙曲線的解析式和圖象可得，解得m=-1，
∴雙曲線的方程為．
（2）由直線y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x=-2，∴B點坐標(biāo)（-2，0）；
（3）聯(lián)立，解得，（∵x_A＞0），∴，
∴2=，即，解得k=，
∴x_A=2，y_A=2，∴A（2，2）．
（4）存在，設(shè)P（x，0）．
①若|OA|=|OP|，則，解得x=；
②若|AO|=|AP|，則，解得x=4，或x=0（舍去）；
③若|PA|=|PO|，則，解得x=2．
綜上可知：點P的坐標(biāo)為以下四個，
（，（-2，（2，0），（4，0）．
點評：熟練掌握雙曲線的定義及其性質(zhì)、直線與雙曲線的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到方程組、三角形的面積計算公式、兩點間的距離公式、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．