Question

（2006•寶山區(qū)二模）定義區(qū)間長度m為這樣的一個量：m的大小為區(qū)間右端點的值減去區(qū)間左端點的值．若關(guān)于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解集的區(qū)間長度不超過5個單位長，則a的取值范圍是（　�。�

A．[-25，1]

B．（-∞，25]∪[1，+∞）

C．[-25，0）∪（1，24）

D．[-25，-24）∪（0，1]

Answer 1

分析：關(guān)于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，因此必須△=a²+24a＞0，解得a的取值范圍（*）．由x²-ax-6a=0解得．
不妨設(shè)x₁＜x₂，不等式解集為（x₁，x₂），利用解集的區(qū)間長度不超過5個單位長，可得x₂-x₁≤5，解得a的取值范圍與（*）求出其交集即可．

解答：解：∵關(guān)于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，∴△=a²+24a＞0，解得a＞0或a＜-24．
由x²-ax-6a=0解得x1=

a- a2+24a

2

，x2=

a+ a2+24a

2

．
∵x₁＜x₂，不等式解集為（x₁，x₂），
∵解集的區(qū)間長度不超過5個單位長，∴

a2+24a

≤5，解得-25≤a≤1，
∵a＞0或a＜-24，
∴-25≤a＜-24或0＜a≤1．
故選D．

點評：熟練掌握一元二次不等式的解集與△及相應的一元二次方程的實數(shù)根的關(guān)系、新定義、交集的運算等是解題的關(guān)鍵．