Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a2+1）x+alnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[ ， e]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a時，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵f（x）在[，e]上單調(diào)遞減，∴f′（x）=ax﹣（a2+1）+≤0在[，e]上恒成立，
即ax+≤a2+1，
①當(dāng)a≤0時，結(jié)論成立，
②當(dāng)a＞0時，不等式等價為x+≤a+在[，e]上恒成立，
當(dāng)x＞0時，h（x）=x+在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴要使函數(shù)h（x）＜h（a）在[，e]上恒成立，
則0＜x≤或x≥e，
綜上a≤或a≥e．
（Ⅱ）f′（x）=ax﹣（a2+1）+=
由f′（x）=0得x=a或，
①當(dāng)0＜a≤時，即f′（x）≤0時，f（x）在[1，2]上遞減，
∴f（x）min=f（2）=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
②當(dāng)＜a≤時，
當(dāng)1≤x＜時，f′（x）＜0，當(dāng)＜x≤2，f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（）=﹣a﹣﹣alna，
f（2）﹣f（1）=a﹣（a2+1）+aln2，
設(shè)h（x）=x﹣（x2+1）+xln2，＜x≤，
h′（x）=﹣2x+ln2，
∵＜x≤，
∴h′（x）＞0，
則h（x）在＜x≤上單調(diào)遞增，
∴h（x）max=×﹣[（）2+1]+ln2=+ln2＜0，
∴f（2）＜f（1），∴f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
綜上當(dāng)0＜a≤時，f（x）min=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
當(dāng)＜a≤時，f（x）min=﹣a﹣﹣alna，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1）．
【解析】（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[ ， e]上單調(diào)遞減，等價為f′（x）≤0在[ ， e]上恒成立，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求最值恒成立即可，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），研究函數(shù)的單調(diào)性與最值之間的關(guān)系即可求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．