【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex , 其中e是白然對(duì)數(shù)的底數(shù),e=2.71828…
(I)若函數(shù)φ(x)=f(x)﹣求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點(diǎn)A(x0 , f(x0)處的切線,證明:在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0 , 使得直線l與曲線y=g(x)相切.

【答案】解:(Ⅰ)φ(x)=f(x)﹣=lnx﹣,φ′(x)=+
∵x>0且x≠1,∴φ'(x)>0,
∴函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞);
(Ⅱ)證明:∵f′(x)=,∴f′(x0)=
∴切線l的方程為y﹣lnx0=(x﹣x0),
即y=x+lnx0﹣1,①
設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(x1 , ),
∵g'(x)=ex , ∴=,∴x1=﹣lnx0
∴直線l也為y﹣=(x+lnx0),
即y=x++,②
由①②得lnx0﹣1=+,
∴l(xiāng)nx0=
下證:在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=lnx﹣在區(qū)間(1,+∞)上遞增.
又φ(e)=lne﹣=<0,φ(e2)=lne2=>0,
結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,說明方程φ(x)=0必在區(qū)間(e,e2)上有唯一的根,
這個(gè)根就是所求的唯一x0
故結(jié)論成立.
【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)恒大于0,從而可得求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)先求直線l為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)A(x0 , f (x0))處的切線方程,再設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)(x1 , ),進(jìn)而可得lnx0= , 再證明在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一即可。

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,4),求此時(shí)橢圓C的方程;
(Ⅱ)證明:直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

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(I)請(qǐng)完成列聯(lián)表

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

甲班

10

乙班

30

合計(jì)

110

(Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為成績與班級(jí)有關(guān)系?

參考公式和臨界值表

,其中

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)若,且a分別與垂直,求向量a的坐標(biāo);

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn+2=2an(n∈N*).
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(Ⅱ)設(shè)bn=log2an , 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn , 證明:Tn<1.

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【題目】對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義max{a,b}= , 已知在[﹣2,2]上的偶函數(shù)f(x)滿足當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=max{2x﹣1,2﹣x}若方程f(x)﹣mx+1=0恰有兩個(gè)根,則m的取值范圍是( 。
A.[﹣2,﹣eln2)∪(eln2,2]
B.[﹣eln2,0)∪(0,eln2]
C.[﹣2,0)∪(0,2]
D.[﹣e,﹣2)∪(2,e]

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(1)若成績小于13秒被認(rèn)為優(yōu)秀,求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù);
(2)請(qǐng)估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中,成績屬于第三組的人數(shù);

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【題目】(本小題滿分14分)已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓 相交于不同的兩點(diǎn)

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(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[ , e]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a時(shí),求f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.(注意:ln2<0.7)

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